Em que provamos que π=4
Você consegue descobrir a falha no argumento acima? Há muitas formas de entender como repetir a remoção de cantos não leva realmente ao comprimento de um círculo, incluindo aquela que se resume a repetir como remover cantos desta forma só lhe deixará com mais cantos, mas “você sempre vai ter espaço pra fazer mais uma dobrinha nas quinas do quadrado, com apenas a ponta encostando no circulo, mas sempre com uma quina que não encosta. E você só diminui a distancia entre a quina e o circulo, mas sempre vai ter a quina ,então nunca vai encostar em todo o perímetro”, como notou o girino.
Essa explicação lhe satisfaz? Pois bem, então por que o método de Arquimedes sim funciona? Há mais de dois milênios, o matemático grego foi o primeiro ser humano na história conhecida a aproximar o valor de pi por um método matematicamente rigoroso que poderia fornecer uma aproximação com a precisão que se desejasse.
Através de polígonos inscritos e circunscritos com números cada vez maiores de lados, Arquimedes pôde estimar esta elusiva constante matemática com as técnicas geométricas simples de que dispunha para polígonos regulares. Clique na imagem abaixo para um gráfico interativo, e aumente o número de lados do polígono para obter aproximações cada vez melhores de pi.
Pois bem, isto não parece muito diferente do método trollface. Você consegue explicar por que um método funciona e o outro, não?
Uma forma de enxergar o problema é perceber, como notou o Ricbit, que o método trollface de obter o valor do pi poderia gerar um valor arbitrário. Você poderia desenhar uma estrela, e então desenhar estrelas cada vez menores, sempre mais próximas do perímetro do círculo. Ao infinito, você poderia ter algo que de longe pareceria um círculo. Mas o perímetro deste objeto poderia ser maior que 4, de fato, poderia ter um comprimento arbitrário, mesmo… infinito. E, pelo visto, mais pessoas perceberam isto.
É o problema de medir a costa da Bretanha. A aproximação de Arquimedes tende a um limite que é tanto um círculo como equivale ao perímetro de um círculo, ao contrário do métodotrollface. Agora, aqui está o detalhe fabuloso: o método trollface pode ter comprimento arbitrário, mas sim tende a um limite que é um círculo! Como?
“A convergência de pontos de curvas não implica que seus comprimentos convirjam ao limite do comprimento. Imagine um humano caminhando em uma estrada reta por 1km da seguinte forma: ele dá dois passos para frente, um passo para trás, e então repete o procedimento. Ao final ele terá caminhado 3km ao invés de 1km. Se fizermos o humano e seus passos cada vez menores, seu movimento parecerá cada vez mais contínuo a um observador externo, mas ele ainda terá caminhado 3km ao invés de 1km”, explica um comentário em Hacker News. “Ou alternativamente (se quisermos adentrar o espaço bidimensional) ele poderia dar uma passo à esquerda, então à frente, e então à direita; isto faria com que seu caminho parecesse uma trilha fina que se aproximasse cada vez mais de uma linha reta, mas sempre seria três vezes mais comprido. Algo assim está acontecendo na brincadeira original”.
Em que percebemos que é possível construir um círculo com uma linha de comprimento infinito, sem com isso demonstrar que o valor de pi tenha um valor muito diferente daquele estimado por Arquimedes há um par de milênios. Se isso parece inusitado, a matemática ainda reserva surpresas como o paradoxo de Banach-Tarski.
PS.: Por favor, corrijam quaisquer sacrilégios matemáticos cometidos neste post.
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